Gegeben sind die Fixpunkte

\(\Large P(1,2)\) und \(\Large Q(4,4)\)

sowie die Entfernungen (Radien)

\(\Large {r_p}=\sqrt5\) und \(\Large {r_q}=\sqrt10\)

Gesucht werden die Koordinaten des Punktes \(\Large S\).

Ausgangsgleichungen:

\(\Large(x_p-x_s)^2+(y_p-y_s)^2={r_p}^2\)
\(\Large(x_q-x_s)^2+(y_q-y_s)^2={r_q}^2\)


Werte des Beispiels:

\(\Large x_p=1, y_p=2, x_q=4, y_q=4, r_p=\sqrt{5}, r_q=\sqrt{10}\)


Einsetzen der Werte:

\(\Large(1-x_s)^2+(2-y_s)^2=5\)

\(\Large(4-x_s)^2+(4-y_s)^2=10\)


Anwenden der binomischen Formel:

\(\Large 1-2x_s+x_s^2+4-4y_s+y_s^2=5\)

\(\Large 16-8x_s+x_s^2+16-8y_s+y_s^2=10\)


Ordnen / Vereinfachen

\(\Large x_s^2-2x_s-4y_s+y_s^2=0\) (Gleichung I.)

\(\Large x_s^2-8x_s-8y_s+y_s^2=-22\) (Gleichung II.)


Gleichung II. von Gleichung I. abziehen (\(\Large x_s^2\) und \(\Large y_s^2\) fallen weg)

\(\Large 6x_s+4y_s=22\)


Vereinfachen


\(\Large 3x_s+2y_s=11\)


nach \(y_s\) auflösen

\(\Large y_s=\frac {11-3x_s}{2}\)


\(\Large y_s\) in Gleichung I. einsetzen und Normalform herstellen (\(\Large a x^2 +b x + c =0\))

\(\Large x_s^2-2x_s-4y_s+y_s^2=0\) (Gleichung I.)

\(\Large x_s^2-2x_s-4(\frac {11-3x_s}{2})+(\frac {11-3x_s}{2})^2=0\)

\(\Large x_s^2-2x_s-\frac {44-12x_s}{2}+\frac {(121-66x_s+9x_s^2)}{4}=0\)

\(\Large 4x_s^2-8x_s-88+24x_s+121-66x_s+9x_s^2=0\)

\(\Large 13x_s^2-50x_s+33=0\)



Lösungsformel anwenden

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{-(-50)\pm\sqrt{(-50)^2-4\cdot13\cdot33}}{2\cdot13}\)

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{50\pm\sqrt{2500-1716}}{26}\)

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{50\pm\sqrt{784}}{26}\)

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{50\pm28}{26}\)


\(\LARGE x_1=3\)

\(\LARGE x_2=\approx 0,846...\)


Einsetzen in \(\Large y_s=\frac {11-3x_s}{2}\)

\(\LARGE y_1=1\)

\(\LARGE y_2=\approx 4,230...\)



Lösung


Der Schnittpunkt \(S\) besitzt die Koordinaten \((3,1)\), der zweite Schnittpunkt besitzt die Koordinaten \((0,846...,4,230...)\).